Ряды фибоначчи. Последовательность фибоначчи и принципы золотого сечения
Числа Фибоначчи окружают нас повсюду. Они и в музыке, и в архитектуре, в поэзии, математике, экономике, на фондовом рынке, в строении растений, в спирали улитки, в пропорциях человеческого тела и так далее, до бесконечности…
Известный средневековый математик Леонардо Пизанский (ок. 1170-ок. 1250), больше известный под именем Фибоначчи, был одним из известнейших учёных своего времени. Он впервые в Европе предложил использовать вместо римских и открыл математическую последовательность чисел, впоследствии названную его именем, которая выглядит таким образом: 1,1,2,3,5,8,13,21,…и так далее до бесконечности. Последовательность этих чисел иногда называют «числа Фибоначчи».
Задача. вы должны перенести все диски с первого стебля до последнего в соответствии со следующими правилами. Диск можно разместить только на пустой мачте или помещать на диск большего размера.
- Один привод может управлять только одним диском.
- Количество переносов должно быть минимальным.
Когда мы двигаем диск за один шаг. Это легко решить, когда вам нужно три передачи. Мы в некоторой степени осознаем тот факт, что для решения проблемы достаточно 7 репозиций. Обратите внимание, что ничего не меняется, если задача требует, чтобы диски перемещались не вправо, а на средний диск: мы выполняем одни и те же движения, только диски справа, а до середины и наоборот.
Нетрудно заметить, что в этой замечательной последовательности каждое следующее число образуется в результате сложения двух предыдущих. А чем же она замечательна? Если разделить каждый следующий член этой уникальной последовательности на предыдущий, то мы постепенно будем приближаться к некоему удивительному трансцендентному соотношению - числу Ф (числу Фибоначчи) = 1,6180339887…
Что нужно для перемещения диска в соответствии с правилами? Прежде всего, на нем не должно быть никаких других дисков. Кроме того, правильный стебель также должен быть пустым. Следовательно, все остальные диски уже должны быть перенесены на среднюю мачту! Только тогда мы сможем переместить накопитель.
Когда мы пытаемся переместить меньшие диски на среднюю мачту, мы можем полностью игнорировать диск: он не будет прерывать, потому что он больше, чем все остальные диски. Таким образом, передача диска полностью та же, только уменьшена, задача. Так мы начинаем видеть решение рекурсивной задачи, общая схема которой такова.
Это число, подобно числу Пи (3,1415…) не имеет точного значения. Количество цифр после запятой бесконечно. Это начало математических и не только чудес. Если поделить любой член последовательности на последующий, то мы также получим трансцендентное число 0, 6180339887… Чудеса продолжаются - после запятой цифры в точности повторяют последовательность цифр числа Ф, только перед запятой не 1, а 0.
Пусть каретка будет функцией переполнения диска. Он должен зависеть от количества дисков, которые вы хотите переместить. Кроме того, она должна знать, какие и на каких основаниях они хотят двигаться. Мы будем чередовать переменные от и до и между ними. Если мы переместим диски на основе правила, описанного выше, и если вам не нужно ничего делать, рекурсия завершается. Следующая процедура иллюстрирует работу процедуры путем вызова каретки. Удивительно, что для этой сложной задачи на первый взгляд существует такое изящное решение.
Мы покажем, что количество передач - это наименьшее количество передач описанным образом. Отметьте минимальное количество переходов, необходимых для перемещения дисков с одного стебля на другой. С другой стороны, можем ли мы сделать что-то лучше? Рано или поздно вам обязательно нужно будет переместить этот диск. До этого оставшиеся диски должны быть на средней мачте, для чего потребуется хотя бы передача. Для одного хода потребуется диск для этого диска и, наконец, по крайней мере, для переноса меньших дисков на верх.
Идем дальше. Если мы возведем в квадрат любое число Фибоначчи, то результат будет равен произведению числа, стоящего в последовательности перед ним, помноженному на число, которое стоит за ним, плюс или минус 1. Например, пять в квадрате равно 3x8 плюс 1; 8 в квадрате равно 5x13 минус 1; 13, возведённое в квадрат, равно 8x21 плюс 1 и так далее. Знаки «плюс» и «минус» меняются, чередуясь. Таких математических чудес здесь великое множество. Числа Фибоначчи творят чудеса вокруг нас, просто мы иногда этого не замечаем.
Отсюда и неравенства получаем. Таким образом, мы можем вычислить следующее взаимное соотношение. Однако взаимные отношения не отвечают на вопрос о сложности процедуры. Можно видеть, что увеличение количества дисков на одну единицу, количество ходов приблизительно удваивается. Разумеется, мы решим отношения повторения.
В последние столетия большинство людей думало, что Фи, более известный как божественная пропорция или золотое сечение, является стандартом для баланса и красоты. В начале задания у нас есть пара кроликов, которые размножаются после нескольких подростков каждый месяц. Каждая пара цыплят, в возрасте двух месяцев, порождает молодого кабана и так далее. Том Поэтому в конце второго месяца у нас уже есть 2 пары, т.е. у. 1 пара 1 пара = 2 пары. В конце третьего месяца есть 3 пары: старая пара получит еще пару бегунов.
В растениях также можно увидеть это волшебное соотношение. Числа Фибоначчи мы можем вновь наблюдать, если мы будем внимательно рассматривать соцветия различных сложноцветных растений: у цветка ириса мы обнаружим 3 лепестка, у примулы - 5, у амброзии полыннолистной - 13, у -34, а у астры - 55 и 89 лепестков.
Великий Гёте заметил и изучал проявление спиральности в природе. Спирали можно увидеть в том, как расположены семена подсолнечника, шишек сосны, в кактусах, ананасах и др. Во всех этих случаях проявляется число Фибоначчи. Спиралеобразно плетет паук свою паутину. Ураганы закручиваются спирально. Так закручены и галактики. «Кривая жизни» - так называл спираль Иоганн Гёте.
В конце четвертого месяца есть пять пар: у старого будет еще несколько пор, но молодой сможет поймать кроликов. Итак, у нас уже есть пять пор для бешенства. Продолжающиеся вычисления могут подсчитывать количество пар после первого года. Эта цифра используется в произведениях искусства, например, Леонард да Винчи также знал эту пропорцию, что можно увидеть в его работах «Человек Витрувия» или «Мона Лиза». Он также может быть обнаружен в организме человека путем изучения пропорций костной структуры.
Мы получим тот же ответ, измерив расстояние от плеча до пальца и разделив его с расстояния, которое мы находим, измеряя расстояние от локтя до кончиков пальцев. Том Музыка основана на октаве из 8 заметок, а фортепиано представлено 8 белыми и 5 черными клавишами.
Находит своё проявление соотношение Фибоначчи и в биологии разных организмов. Например, число лучей соответствует числам Фибоначчи. У простого комара тоже можно найти их: ног у него 3 пары, 8 сегментов имеет брюшко, а на голове имеется 5 усиков. Количество позвонков у некоторых животных равно 55 и так далее.
У ящерицы отношение длины её хвоста к остальной длине тела составляет 62 и 38, и это соотношение гармонично и приятно для нашего глаза. В животном и растительном мире, повсюду проявляется симметрия. Бог, Природа или Великий Архитектор осуществил разделение на симметричные отрезки, части и золотые пропорции. В части может повторяться структура целого, что есть проявление фрактальности в природе.
В природе эта цифра может быть найдена в различных формах. Таким образом, это число можно найти во многих местах нашей Вселенной. Многим случайно выбранным людям было предложено эстетически оценить прямоугольники разных размеров. Более 75% людей выбрали одинаковые прямоугольники определенных размеров. В чем причина этого выбора? Эксперимент подтвердил его идею: изначально были выбраны «золотые» прямоугольники. Не существует сохранившихся греческих архитекторов самых известных данных о храмах и зданиях.
В результате мы не знаем, намеренно ли они использовали золотой раздел в своих архитектурных проектах. Удивительно, что золотое сечение - это пропорция, которая время от времени возникает в природе, особенно в геометрии, а также в определенных пропорциях человеческого тела.
Золотая симметрия наблюдается в переходах, связанных с энергетическими затратами элементарных частиц, в структуре отдельных химических соединений, в космических системах, в генетических структурах, в строении некоторых органов человека и его тела, проявляется в биоритмах, работе мозга и
Последовательность чисел Фибоначчи на протяжении многих веков, начиная с эпохи великого Леонардо и вплоть до сегодняшних дней, привлекает к себе внимание. Может быть последний пример - нашумевший роман Дэна Брауна "Код Давинчи".Прежде всего, несколько слов о числах Фибоначчи вообще и об их производном - золотом сечении в частности. Известно, что в ряд Фибоначчи - это бесконечная последовательность чисел, каждое из которых является суммой двух предыдущих.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,….
Происхождение этой последовательности обычно связывается с именем итальянского купца Леонардо Пизанского, более известного под прозвищем Фибоначчи. Он был великим математиком своего времени и его роль в развитии математики трудно переоценить. По его трудам, превосходящим арабские и средневековые европейские сочинения, учили математику до XVI-XVII веков.
Фибоначчи как бы напомнил человечеству то, что было известно ему еще с древнейших времен, как "золотое сечение". Геометрический смысл этой пропорции, заключается в таком делении отрезка, когда он весь относится к его большей части, как самая большая часть относится к меньшей. Значение золотого сечения иррационально, то есть оно не может быть вычислено абсолютно точно. Однако его можно приблизительно получить, разделив два соседних числа в ряде Фибоначчи, причем, чем больше величины чисел, тем точнее будет результат. Деление большего числа на меньшее дает значение Ф*=1.618…., а разделив меньшее на большее приблизительно получим Ф=0.618…...
По дошедшим до нас памятникам архитектуры и образцам материальной культуры далеких эпох можно предположить о знании древними этих соотношений. Хотя обычно считается, что понятие золотого сечения ввел Пифагор (VI в. до н.э), но вполне возможно, что это знание более древнее и он позаимствовал эти знания у египтян или вавилонян. Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов того времени, некоторых предметов быта и украшений, из гробницы Тутанхамона соответствуют соотношениям золотого сечения. Французский архитектор Ле Kорбюзье нашел эти соответствия в пропорциях на рельефах изображающих фараонов, они присутствуют в фасаде храмового комплекса Парфенона. На древних рельефах из египетских гробниц люди держат в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы эти замечательные пропорции.
О золотом сечении знал Платон (IV в до н.э), это отношение упоминается в "Началах" Евклида. После Евклида подобными исследованиями занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с ним познакомились по арабским переводам "Начал" Евклида. Переводчик Дж.Kампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Надо отметить, что в то время эти знания были тайными, тщательно оберегались от непосвященных и хранились в строгой тайне.
В эпоху Возрождения золотому сечению уделяли внимание Леонардо да Винчи, Альбрехт Дюрер и творец начертательной геометрии монах Лука Пачоли. Он нашел в нем "божественную суть" - выражение триединства Бога сына, Бога отца и Бога духа Святого. Подразумевалось, что малый отрезок - олицетворение Бога сына, больший отрезок - Бога отца, а все вместе дух Святой.
В последующие века изучение этой пропорции продолжались. В 1855 г. немецкий и профессор Цейзинг опубликовал труд "Эстетические исследования", где объявил пропорцию золотого сечения универсальным для всех явлений природы и искусства. На основании исследования размеров несколько тысяч человеческих тел он пришел к выводу, что оно выражает средний статистический закон и пропорции человеческого тела описываются отношениями членов ряда Фибоначчи. Это проявляется в отношении самых разных частей тела - длины плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.
Золотое сечение встречается не только в искусстве и архитектуре, но и в природе. Пропорции ряда Фибоначчи присутствуют в расположении листьев на деревьях, различных семян, в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия, музыкальных тонах, стихотворных размерах, в генных структурах живых организмов и тому подобное.
Проявление чисел Фибоначчи не ограничивается законами восприятия и живой природой. Из истории астрономии известно, что в XVIII в. немецкий астроном И. Тициус, с помощью ряда Фибоначчи нашел закономерность в расстояниях между планетами солнечной системы. Сегодня имеются многочисленные данные по проявлению золотого сечения в самых различных физических системах - в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений и т.д. Установлены связи золотого сечения со свойствами воды, громкости и частоты звука, спектра видимого света, физико-механических свойств твердых тел и т.п. Эти факты - свидетельства независимости числового ряда от условий его проявления, что является одним из признаков его универсальности. Известны даже попытки создания хронологии человеческого общества на основе ряда Фибоначчи.
В качестве причин, объясняющих эти явления обычно приводятся результаты исследований показавших, что наиболее устойчивые природные и социальные конфигурации имеют Фибоначчи-подобную форму, так как являются оптимальными в смысле энергетики и экономии ресурсов.
В XX веке на основе последовательности Фибоначчи была создана одна из наиболее успешных методик анализа финансовых, товарных и иных рынков - волновая теория Эллиота. При наличии некоторого воображения можно усмотреть вполне очевидные аналогии между рынком финансовым и тем, что назовем "рынком политическим". Под последним, будем понимать политическую систему регулирования гражданского общества, где присутствуют интересы различных групп населения, а возможные противоречия между ними разрешаются путем договоренностей в рамках демократических процедур. Вообще, общеизвестно, что политика - это искусство компромисса. А компромисс - это всегда сделка, причем не очень неважно, торговая, посредническая или политическая. В этом смысле все политические деятели - игроки политического рынка.
При этом совершенно не важно, что движет политиками: великие идеи, личные амбиции, интересы поддерживающих их финансово-промышленных групп или определенных групп населения, либо просто, собственная корысть. Важно то, что они, проявляя свою активность, создают политические партии, продвигают некие проекты, реализуемые в законотворческой или иной деятельности. Здесь мы имеем тот же парадокс рыночной экономики. В том случае, если деятельность политиков происходит в правовом поле, независимо от мотивации она объективно полезна обществу, так как своей суетой и мельтешением эти "брокеры политического рынка" решают задачи саморегуляции общественного организма. Продолжая аналогии можно сказать, что "трейдерами и инвесторами политического рынка" можно считать те силы, которые финансируют политическую деятельность.
Если это так, то возникает соблазн применить методы анализа финансовых рынков к рынкам политическим. Одним из таких методов технического анализа является использование волнового закона Эллиота. Более шестидесяти лет тому назад Ральф Эллиотт разработал теорию поведения рынка, которую в наиболее полном виде изложил в книге "Закон природы - секрет Вселенной", вышедшей в 1946 году. Он уже тогда был уверен в том, что его теория охватывает не только поведение фондовых индексов, но и более общие законы природы, управляющие деятельностью человеческого общества.
Суть подхода Эллиота сводится к тому, что общество развивается и изменяется в виде распознаваемых моделей. Он выделил более десятка типов моделей движения ("волн"), которые возникают в потоке рыночных цен, повторяющихся по форме, но не обязательно по времени или амплитуде. Им были даны названия, определения и иллюстрация этих моделей.
Согласно его теории движение происходит по "старому доброму принципу" три шага вперед два шага назад и волны разделяются - импульсные (вперед) и корректирующие (назад). Действительно, достаточно даже беглого взгляда на график индекса Доу-Джонса или на поведение курса валют на рынке FOREX, чтобы увидеть волновое движение огромного количества больших и малых волн. Их отличает свойство, называемое "самоподобием", присущее так называемым фракталам.
Эллиот утверждал, что независимо от размера, форма волн достаточно стабильна, а порядок их чередования поддается разумному объяснению. Закон волн - это модель развития и упадка. Соотношения между отдельными волнами базируются на числах, полученных из ряда Фибоначчи и в частности на золотом сечении.
Некоторые авторы пытаются применить волновой закон Эллиота даже для анализа истории человечества, его глобального развития. Не ставя перед собой столь масштабных задач, попробуем рассмотреть с позиций применимости последовательности Фибоначчи для анализа длительности некоторых процессов, происходивших в России в XX веке, и даже попытаемся дать некий прогноз на первые десятилетия века XXI.
Необходимо отметить, что если для фондового рынка сегодня разработаны и широко используются разнообразные индексы (Доу-Джонса, NASDAQ и др.), что позволяет строить и анализировать графики их изменения во времени. Для рынка политического, такие показатели, возможно, еще предстоит создать в будущем. Интуитивно понятно, что эти гипотетические аналоги индекса Доу-Джонса должны иметь вероятностную, энтропийную природу.