Загадочный беспорядок: история фракталов и области их применения. Фракталы: музыкальная пауза. Применение теории хаоса в реальном мире
В жизни важен комплексный подход. Ведь в ней есть действительная и мнимая части.
Форум по Linux
В науке и, в частности, в математике во второй половине 1970-х годов произошла значительная революция. Эта революция не была похожа на то, чего ожидали философы науки. Это не была победа новой парадигмы над старой. На самом деле она больше напоминала промышленную революцию. Ранее компьютеры могли себе позволить только крупные исследовательские группы, обладающие солидным финансированием. Компьютеры были крайне дорогие и применялись для изучения крупномасштабных проблем, в частности звездообразования, прогноза погоды или для моделирования ядерных взрывов. Получить доступ к компьютеру было не менее сложно, чем к крупному телескопу.
В наборах Юлии анализируется последовательность комплексных чисел. В следующей анимации параметр цвета может варьироваться от 0 до 255, чтобы получить другой цвет: более или менее зеленый, для которого вводятся два значения: реальная часть и мнимая часть.
Наблюдайте за игрой цветов и автоподобностью фигур. Мандельброт обнаруживает потрясающие свойства нового сложного набора чисел, который является результатом очень строгой математической работы, расширяя старые работы Фату и Джулии и используя рудиментарные графические возможности времени.
Множество Мандельброта – черная область, имеющая бесконечно изрезанную границу. Копии всей структуры обнаруживаются при рассмотрении границы в любом масштабе, сколь угодно мелком
Официальные запросы на такие работы должны были поступать от имени организаций, затем предполагаемую цель использования компьютера оценивали и сравнивали с другими предложенными вариантами. И если в конце концов такой запрос удовлетворялся, вам приходилось еще немало подождать и понервничать, чтобы заставить машину делать то, чего вы от нее хотите, и надеяться, что она не сломается.
Квадрат числа, умноженный на него, квадрат может быть только положительным: в случае числа Эффект 4 - это и квадрат 2, и как, кстати, отметим, что 1 - это квадрат 1 и квадрата -1. В этом условии отрицательное число не может быть квадратом и вопрос что такое квадратный корень из -1?
Наборы Джулии и Фату
Оттуда можно определить комплексные числа. Существует арифметика комплексных чисел, которая использует правила, несколько более сложные, чем наша обычная арифметика, но которая позволяет выполнять на комплексных числах все классические операции, Плоскость, определяемая системой координат, называется комплексной плоскостью. Напротив, для других значений функция расходится, а точка, представляющая результат, выходит в бесконечность. Фату и Джулия поняли очень сложное поведение значений, полученных в результате такого типа вычислений, которое очень велико, даже если оно останавливается после разумного количества итераций, но очень просто в принципе.
Эта ситуация изменилась довольно быстро. Изобретение персонального компьютера сразу открыло каждому отдельно взятому человеку доступ к немалым вычислительным мощностям по сравнительно невысокой цене. Персональные компьютеры умещаются на письменном столе, они просты и интерактивны в работе, а также обладают хорошей графикой. Это способствовало быстрому росту числа исследований, связанных с так называемыми сложными системами. Такие феномены, как хаос, странные аттракторы и фракталы появились в научном обиходе лишь благодаря революции, связанной с появлением персональных компьютеров.
К сожалению, компьютеров в то время не существовало, и графическое выражение результатов было невозможно, за исключением нескольких простых случаев. Соответствующие точки образуют четко определенное множество в комплексной плоскости, которое мы привыкли называть Джулианем немного быстро. Это то, что происходит, когда экран используется для представления комплексной плоскости. В этом представлении черные части правого изображения представляют собой заполненный набор Джулии. Действительно, набор Юлии строго является пределом черной зоны первого изображения, а черная зона внутри - множеством Фату, но мы привыкли говорить о У Юлии нет такого различия.
Некоторые физические явления, например капанье воды из крана, описываются очень простыми математическими уравнениями. Но решение этих уравнений показывает, что эти процессы сложны и непредсказуемы, их нельзя описать, пользуясь только карандашом и бумагой. Лучший способ исследовать такие явления – изучить их «экспериментально», пользуясь компьютерами. Персональные компьютеры способствовали созданию нового научного направления – экспериментальной математики, позволяя отдельным ученым и небольшим научным группам исследовать сложные процессы, просматривая высококачественные компьютерные изображения в реальном времени. Их простая интерактивность позволяла анализировать различные варианты, измененные исходные условия и создание обобщений – достаточно было только нажать несколько клавиш. Визуализация стала очень важной. Можно было посмотреть и увидеть, что происходит.
⇡ Фрактальные антенны: лучше меньше, да лучше
Когда множество не связано, можно показать, что оно обладает свойствами двумерной канторской пыли. Ореолы, окрашенные в образы слева, не принадлежат всему, но, в соответствии с их цветом, представляют точки, которые выходят из целых в конце 1, 2, 3 и т.д. итерационных последовательностей.
Можно видеть, что, тщательно выбирая области вокруг комплекса Джулия, структура очень сложная и красивая. Компьютер - прекрасный инструмент для выполнения множества глупо повторяющихся вычислений, необходимых для получения этого изображения. Наборы Джулии - фракталы: можно увеличить бесконечность изображения, всегда найдя новые детали.
Ранее такие исследования были попросту неосуществимы. В ретроспективе мы можем увидеть поворотный момент в истории математики. Если раньше математика делилась на две части, чистую и прикладную, то теперь таких части три – чистая, прикладная и экспериментальная математика.
Наиболее примечательное открытие, возникшее благодаря этому новому стилю исследований, было совершено в самом начале его становления. Французский математик Бенуа Мандельброт работал в компании IBM в Йорктаун-Хайте, штат Нью-Йорк, с 1958 года. Его стиль работы был необычен для «чистого» математика, в особенности француза, поскольку он не стеснялся применять компьютерные расчеты в качестве ориентира и инструмента в ходе разнообразнейших математических исследований, которые обычно считаются уделом чистой мысли, подкрепляемой непростой алгеброй.
Мандельброт в своей книге много настаивает на том, что он широко использовал графические возможности компьютеров для изучения свойств этого набора. Точками множества Мандельброта являются множество значений с, для которых связано соответствующее множество Юлии.
Граница множества Мандельброта является фрактальной, а ее фрактальная размерность равна 2. Набор Мандельброта фрактален и, исследуя изображение при различных увеличениях, вы можете найти бесконечность впечатляющих деталей. Как и в случае любой фрактальной фигуры, фундаментальной характеристикой является самоподобие, т.е. при любом увеличении будут структуры, подобные тем, которые наблюдаются при меньших увеличениях. Очень впечатляющее свойство - это присутствие, скрытое среди различных структур, мини-наборы Мандельброта.
В 1979-1980 годах Мандельброт приступил к исследованию свойств простого, на первый взгляд, математического правила, а об удивительных результатах своей работы начал сообщать коллегам в ноябре 1980 года. Математическое правило, о котором пойдет речь, состоит в том, что берется точка на плоскости (точка обозначается z) и перемещается в точку z2 + с, где с – некоторая константа149. Предположим, мы применяем это правило к точке z = 0, получаем с, затем с2 + с. Если применять это правило снова и снова, то точка переместится в (с2 + с)2 + с, затем в [(с2 + с)2 + с]2 + + с и так далее. Если бы мы начали не с z = 0, а с другой точки, то последовательность была бы иной. На самом деле, незначительно изменяя исходную точку, мы можем получить совсем иную последовательность движений точки на плоскости. Это известное свойство чувствительности к начальным условиям, характерное для хаотических систем.
На следующем рисунке показана серия последовательных масштабирования в этом наборе. В каждом кадре белая рамка показывает область, которая увеличена в следующем кадре. И вот такое же увеличенное изображение: диффузия, особенно подходящая для компьютерных изображений.
Чудеса Евклида в изобретении плоской геометрии и невероятных усилиях отца Джироламо Саккери привели к открытию неевклидовых геометрий. Мы знаем, что отец Саккери всячески пытался доказать, что пятый постулат Евклида может быть получен из первых четырех. Он провел целую жизнь в своих намерениях и умер, убежденный в тщетной работе. И, с другой стороны, его вклад был существенным, потому что человечество понимало, что геометрия Евклида не единственно возможная.
Изучая последствия многократного применения этой процедуры, вы заметите, что для некоторых значений с и для некоторых исходных значений z результат становится все больше и больше и вам уже не хватает для таких перемещений листа бумаги. Например, при с = 0 и исходном расположении z в точке 3 на оси х после восьми применений правила z будет равно 32 = 3256 = 10122, что гораздо больше, чем общее количество частиц в наблюдаемой части Вселенной. Однако если бы исходная точка находилась к началу координат ближе, чем х = 1, например z = 0,5, а с = 0, как и в предыдущем примере, то при любом количестве последовательных применений правила точка z оставалась бы в круге радиусом 1 с центром в z = 0. Подобная разница обусловлена тем, что мы выбираем разные значения для с. Иногда значения z уходят все дальше и дальше, мы говорим, что они растут неограниченно, так как если сначала начертить окружность любого размера вокруг исходной точки z, то рано или поздно после достаточного количества применений правила преобразования z окажется за пределами круга, независимо от его радиуса.
Фрактальная структура имеет очень интересную особенность: увеличение сечения снова будет иметь ту же геометрическую конфигурацию. Мы уже сталкивались с рекурсией, и мы знаем, что, как в игре с зеркалами, она основана на повторном использовании, даже бесконечно, одних и тех же математических структур. Фракталы имеют одинаковую особенность, внутри каждой фрактальной секции они находят те же структуры и так бесконечно. Мандельброт использовал очень простое рекурсивное уравнение.
Новизна, однако, заключается в использовании комплексных чисел и в принятии графического соглашения, которое присваивает цвет каждому уровню интенсивности модуля. Сложные числа и связанные с ними операторы еще не заняты, но мы сделаем это в ближайшее время. С помощью этой простой формулы вы получаете геометрическую «вселенную» от смущающей красоты, в сети вы можете найти несколько программ фрактальной генерации, которые позволят вам просмотреть набор Мандельброта.
Часть верхней границы множества Мандельброта. На рисунке видно, что мелкие фрагменты границы копируют форму всего множества в миниатюрном масштабе
Напротив, значение с может быть таким, что последовательные значения z никогда не станут бесконечно большими. В таком случае их называют ограниченными. Мандельброт хотел узнать, как будет выглядеть множество значений с (или, аналогично, положений точек на странице), при котором значения z гарантированно останутся ограниченными. Это простой вопрос, но ответ на него в некотором смысле бесконечно сложен. Вообще, множество точек, для которого после любого числа применений процедуры к стартовой точке z = 0 результат остается ограниченным, имеет необычные очертания, показанные на вводной иллюстрации к этой главе.
И увеличивать масштаб в сотни тысяч раз, всегда получая повторение одной и той же структуры. Фрактальное имя было придумано самим Мандельбротом, что указывает на искаженную форму геометрии, которая получается путем отображения их в калькулятор. Ландшафты, которые вы получаете, мечтательны и сбивают с толку, каждая часть набора Мандельброта характеризуется определенной локальной формой, которая повторяется бесконечно. Есть так много частей, в которых фигуры являются спиральными, другие, которые напоминают галактики, другие, которые напоминают снежные хлопья, а затем волны моря и так далее.
Такое множество называется множеством Мандельброта. Его изящная структура воспроизводилась и изучалась больше, чем любое другое математическое изображение нашего времени. Множество Мандельброта украшает обложки многих книг по математике, вдохновляет создателей произведений компьютерной живописи и авторов научной фантастики. Что же в нем такого особенного?
Фрактальные формы бесчисленны в природе, от черепицы до брокколи до спиралей снарядов и т.д. Самоподобие: если детали наблюдаются в разных масштабах, всегда существует грубое приближение к исходному фракталу. Неопределенное разрешение: невозможно определить границы набора четким и абсолютным образом. Теперь мы начинаем идти немного дальше в мире фрактальной математики. Общей особенностью двух фрактальных семейств, на которые мы будем смотреть, является то, что они представляют собой множества точек, которые отвечают определенным требованиям, как мы увидим позже.
Мощная компьютерная графика позволяет вычертить границу множества Мандельброта с огромной точностью. На иллюстрации оно обозначено черным цветом. На первый взгляд оно напоминает крупную область в форме сердечка со множеством дисковидных областей, отходящих от него и уменьшающихся в размерах по мере того, как мы движемся влево. Различные цвета на границе этой области отражают скорость, с которой близлежащие точки за границей множества Мандельброта уходят в бесконечность при последовательном применении нашей процедуры. Но, увеличив изображение, можно сделать удивительное открытие. Каждый фрагмент границы черной области имеет невероятно затейливую форму, воспроизводящую такую же последовательность сердцевидных и дисковидных областей в миниатюре. Если продолжить рассматривать все более мелкие участки границы множества Мандельброта со все большим увеличением, эта структура продолжит самовоспроизводиться снова и снова во все меньшем масштабе.
Как мы говорили о точках, возникает вопрос о том, где эти точки берутся, будь то на прямой, на плоскости или на пространстве измерений, то есть относительно того, к какой системе координат они относятся. Теоретически фракталы, о которых идет речь, вовсе не обязаны быть представлены на плоскости и вполне могут быть экстраполированы для любого числа измерений; тот факт, что они обычно рисуются двумерно, просто объясняется удобством представления. Именно это порождает бесконечность, что является одной из характерных характеристик таких математических конструкций, то есть возможность практически бесконечной итерации для каждой точки перед переходом к следующему.
Это отличительная черта геометрии фракталов. Контуры одного и того же узора повторяются, становясь все меньше. Но этим удивительные свойства множества Мандельброта не ограничиваются. Другие изогнутые контуры, например морские коньки, тянущиеся за собственными хвостиками, также бесконечно воспроизводят себя. Общая сложность границы оказывается максимально возможной, какую может иметь кривая на плоскости.
И «нам нужен пример, потому что из-за большей части начальной трудности, возникающей при приближении к этому фракталу, это происходит». Более или менее все в нашей жизни мы немного забивали, случайно нажав клавиши карманного калькулятора мы могли видеть, как, нажимая очень большое число, нажимая несколько раз кнопку квадратного корня, всегда приходите к результату 1. Таким образом, функция квадратного корня асимптотически приближается к единице по повторению.
Мы указали, что фракталы обычно представлены на плоскости, и теперь немного лучше прояснить характер и характеристики этого, а также декартовую систему, используемую в качестве ссылки. Для этого вам нужно представить некоторую информацию о мнимых и сложных числах и о том, как они могут быть представлены в плане. Под мнимым числом мы подразумеваем мнимое число, умноженное на коэффициент, известный как мнимый коэффициент.
Такие структуры содержат бесконечные мельчайшие копии самих себя, хотя множество Мандельброта целиком в миниатюре ни разу не воспроизводится. Примечательно, что это бездонное море сложности порождено простым математическим правилом, с которого мы начали работу. Так же, как снежинка Коха образует огромный узор, воспроизводящийся по маленькому шаблону, в случае со множеством Мандельброта огромная структура содержит исходные шаблоны и далеко не только их.
Вариации множества Мандельброта
Под мнимой единицей мы понимаем, что квадратный корень из бинома, образованный реальным добавленным алгебраическим коэффициентом к мнимому числу, образует сложный биномио, который формируется две части, называемые вещественной частью и мнимой частью. В качестве бинома каждое комплексное число можно рассматривать как упорядоченную пару, которую можно безопасно представить на картезианской плоскости с выбором «источника и единицы измерения». Это представление имеет имя плана Гаусса и имеет интересные приложения в множество различных областей математики и физики, которые используют массово сложные числа из теории электронных схем для квантовой механики.
Продолжая исследование множества Мандельброта, мы натыкаемся на еще одну очень интересную мысль. Предположим, что мы фиксируем значение с, но начинаем движение точки z не из координаты z = 0, а из другого места. Для каких значений стартовой точки последовательность так и останется ограниченной? При любом возможном значении с значения z относятся к так называемому множеству Жюлиа. Оно названо в честь Гастона Жюлиа, французского математика, который наряду с Пьером Фату независимо открыл многие из свойств данного математического преобразования в 1918 году. Такие множества Жюлиа образуют разделительные линии между теми точками на плоскости, последовательность образов которых остается ограниченной, и теми точками, которые уходят в бесконечность по мере того, как процедура применяется снова и снова. При изменении значения с множества Жюлиа принимают поразительно разнообразные формы. Подобно некой неземной флоре некоторые такие множества напоминают спирали и решетки, пряди и паутину, а другие парят как облака не связанных между собой точек. Множество Мандельброта состоит из всех связных множеств Жюлиа.
- Сбросьте счетчик и вернитесь к шагу 3, чтобы рассчитать цвет следующей точки.
- Процесс завершится, когда все соответствующие пункты обработаны в этом путь.
Если счетчик выключен и возвращается к шагу 2, для вычисления цвета следующей точки. Процесс завершится, когда все соответствующие моменты будут обработаны вышеуказанным образом. Цвета - это точка другого цвета в зависимости от значения счетчика.
. В этой короткой речи мы хотели кратко дать некоторые принципы, используемые в фракталах, и предоставить практический метод для написания программы, способной рисовать фракталы Мандельброта и Джулии.
Множество Жюлиа для множества Мандельброта, возникающее при выборе в качестве значения с (в преобразовании z – z2 + с) комплексного числа с = 0,285 + 0,01i. Множество Жюлиа представляет собой границу между начальными значениями этого преобразования, которые уходят в бесконечность, и теми, чьи образы остаются ограниченными
Фрактальный генератор фрактальной фракции фрактальных фракталов Мандельброта включает в себя несколько связанных фрактальных типов, включая фракталы Мандельброта, фракталы Юлии, сходящиеся фракталы, фракталы Ньютона и орбитальные ловушки. Фракталы Мандельброта являются результатом итерации фрактальной формулы. Фрактальная формула - это выражение типа.
Это завершает 1-ю итерацию формулы. Чтобы создать фрактальное изображение из этого процесса, окно отображается на сложную плоскость, состоящую из сетки точек, называемых пикселями. Количество строк и столбцов сетки определяется размером и разрешением окна. Конечно, пиксель может ускользнуть, если бы мы выполнили дополнительные итерации формулы. Фракталы, сгенерированные с использованием этого алгоритма, называются фракталами Мандельброта. Остальная часть алгоритма идентична алгоритму, описанному выше.
Множество Мандельброта и близкие ему множества Жюлиа стали экспонатами на выставках, раскрывающих красоту естественных фракталов. В других случаях эти множества использовались как доказательства «реальности» математических структур. Но, кроме всего прочего, они показывают нам, какими глубокими и неожиданными могут быть последствия самых простых операций. Возможно, после изучения этих фракталов ошеломительная сложность нашего тела и нашего мозга уже не будет казаться нам такой неприступной проблемой.
Самые гениальные открытия в науке способны кардинально изменить человеческую жизнь. Изобретенная вакцина может спасти миллионы людей, создание оружия, наоборот, эти жизни отнимает. Совсем недавно (в масштабе человеческой эволюции) мы научились «укрощать» электричество — и теперь не можем себе представить жизнь без всех этих удобных устройств, использующих электроэнергию. Но есть и такие открытия, которым мало кто придает значение, хотя они тоже сильно влияют на нашу жизнь.
Одно из таких «незаметных» открытий — фракталы. Вам наверняка доводилось слышать это запоминающееся слово, но знаете ли вы, что оно означает и как много интересного скрыто в этом термине?
В каждом человеке заложена природная любознательность, стремление познавать окружающий его мир. И в этом стремлении человек старается придерживаться логики в суждениях. Анализируя процессы, происходящие вокруг него, он пытается найти логичность происходящего и вывести некоторую закономерность. Самые большие умы на планете заняты этой задачей. Грубо говоря, ученые ищут закономерность там, где ее быть не должно. Тем не менее даже в хаосе можно найти связь между событиями. И эта связь — фрактал.
Наша маленькая дочь, четырех с половиной лет, сейчас находится в том прекрасном возрасте, когда число вопросов «Почему?» многократно превышает число ответов, которые взрослые успевают давать. Не так давно, рассматривая поднятую с земли ветку, дочка вдруг заметила, что эта ветка, с сучками и ответвлениями, сама похожа на дерево. И, конечно, дальше последовал привычный вопрос «Почему?», на который родителям пришлось искать простое объяснение, понятное ребенку.
Обнаруженная ребенком схожесть отдельной веточки с целым деревом — это очень точное наблюдение, которое лишний раз свидетельствует о принципе рекурсивного самоподобия в природе. Очень многие органические и неорганические формы в природе формируются аналогично. Облака, морские раковины, «домик» улитки, кора и крона деревьев, кровеносная система и так далее — случайные формы всех этих объектов могут быть описаны фрактальным алгоритмом.
⇡ Бенуа Мандельброт: отец фрактальной геометрии
Само слово «фрактал» появилось благодаря гениальному ученому Бенуа Мандельброту (Benoît B. Mandelbrot).
Он сам придумал этот термин в семидесятых годах прошлого века, позаимствовав слово fractus из латыни, где оно буквально означает «ломанный» или «дробленный». Что же это такое? Сегодня под словом «фрактал» чаще всего принято подразумевать графическое изображение структуры, которая в более крупном масштабе подобна сама себе.
Математическая база для появления теории фракталов была заложена за много лет до рождения Бенуа Мандельброта, однако развиться она смогла лишь с появлением вычислительных устройств. В начале своей научной деятельности Бенуа работал в исследовательском центре компании IBM. В то время сотрудники центра трудились над передачей данных на расстояние. В ходе исследований ученые столкнулись с проблемой больших потерь, возникающих из-за шумовых помех. Перед Бенуа стояла сложная и очень важная задача — понять, как предсказать возникновение шумовых помех в электронных схемах, когда статистический метод оказывается неэффективным.
Просматривая результаты измерений шума, Мандельброт обратил внимание на одну странную закономерность — графики шумов в разном масштабе выглядели одинаково. Идентичная картина наблюдалась независимо от того, был ли это график шумов за один день, неделю или час. Стоило изменить масштаб графика, и картина каждый раз повторялась.
При жизни Бенуа Мандельброт неоднократно говорил, что он не занимается формулами, а просто играет с картинками. Этот человек мыслил очень образно, а любую алгебраическую задачу переводил в область геометрии, где, по его словам, правильный ответ всегда очевиден.
Неудивительно, что именно человек с таким богатым пространственным воображением стал отцом фрактальной геометрии. Ведь осознание сути фракталов приходит именно тогда, когда начинаешь изучать рисунки и вдумываться в смысл странных узоров-завихрений.
Фрактальный рисунок не имеет идентичных элементов, но обладает подобностью в любом масштабе. Построить такое изображение с высокой степенью детализации вручную ранее было просто невозможно, на это требовалось огромное количество вычислений. Например, французский математик Пьер Жозе Луи Фату (Pierre Joseph Louis Fatou) описал это множество более чем за семьдесят лет до открытия Бенуа Мандельбротом. Если же говорить про принципы самоподобия, то о них упоминалось еще в трудах Лейбница и Георга Кантора.
Один из первых рисунков фрактала был графической интерпретацией множества Мандельброта, которое родилось благодаря исследованиям Гастона Мориса Жюлиа (Gaston Maurice Julia).
Гастон Жюлиа (всегда в маске — травма с Первой мировой войны)
Этот французский математик задался вопросом, как будет выглядеть множество, если построить его на основе простой формулы, проитерированной циклом обратной связи. Если объяснить «на пальцах», это означает, что для конкретного числа мы находим по формуле новое значение, после чего подставляем его снова в формулу и получаем еще одно значение. Результат — большая последовательность чисел.
Чтобы получить полное представление о таком множестве, нужно проделать огромное количество вычислений — сотни, тысячи, миллионы. Вручную это сделать было просто нереально. Но когда в распоряжении математиков появились мощные вычислительные устройства, они смогли по-новому взглянуть на формулы и выражения, которые давно вызывали интерес. Мандельброт был первым, кто использовал компьютер для просчета классического фрактала. Обработав последовательность, состоящую из большого количества значений, Бенуа перенес результаты на график. Вот что он получил.
Впоследствии это изображение было раскрашено (например, один из способов окрашивания цветом — по числу итераций) и стало одним из самых популярных изображений, какие только были созданы человеком.
Как гласит древнее изречение, приписываемое Гераклиту Эфесскому, «В одну и ту же реку нельзя войти дважды». Оно как нельзя лучше подходит для трактования геометрии фракталов. Как бы детально мы ни рассматривали фрактальное изображение, мы все время будем видеть схожий рисунок.
Желающие посмотреть, как будет выглядеть изображение пространства Мандельброта при многократном увеличении, могут сделать это, загрузив анимационный GIF .
⇡ Лорен Карпентер: искусство, созданное природой
Теория фракталов скоро нашла практическое применение. Поскольку она тесно связана с визуализацией самоподобных образов, неудивительно, что первыми, кто взял на вооружение алгоритмы и принципы построения необычных форм, были художники.
Будущий сооснователь легендарной студии Pixar Лорен Карпентер (Loren C. Carpenter) в 1967 году начал работать в компании Boeing Computer Services, которая была одним из подразделений известной корпорации, занимающейся разработкой новых самолетов.
В 1977 году он создавал презентации с прототипами летающих моделей. В обязанности Лорена входила разработка изображений проектируемых самолетов. Он должен был создавать картинки новых моделей, показывая будущие самолеты с разных сторон. В какой-то момент в голову будущему основателю Pixar Animation Studios пришла в голову креативная идея использовать в качестве фона изображение гор. Сегодня такую задачу может решить любой школьник, но в конце семидесятых годов прошлого века компьютеры не могли справиться со столь сложными вычислениями — графических редакторов не было, не говоря уже о приложениях для трехмерной графики. В 1978 году Лорен случайно увидел в магазине книгу Бенуа Мандельброта «Фракталы: форма, случайность и размерность». В этой книге его внимание привлекло то, что Бенуа приводил массу примеров фрактальных форм в реальной жизни и доказывал, что их можно описать математическим выражением.
Такая аналогия была выбрана математиком не случайно. Дело в том, что как только он обнародовал свои исследования, ему пришлось столкнуться с целым шквалом критики. Главное, в чем упрекали его коллеги, — бесполезность разрабатываемой теории. «Да, — говорили они, — это красивые картинки, но не более. Практической ценности теория фракталов не имеет». Были также те, кто вообще считал, что фрактальные узоры — просто побочный результат работы «дьявольских машин», которые в конце семидесятых многим казались чем-то слишком сложным и неизученным, чтобы всецело им доверять. Мандельброт пытался найти очевидное применение теории фракталов, но, по большому счету, ему и не нужно было это делать. Последователи Бенуа Мандельброта в следующие 25 лет доказали огромную пользу от подобного «математического курьеза», и Лорен Карпентер был одним из первых, кто опробовал метод фракталов на практике.
Проштудировав книжку, будущий аниматор серьезно изучил принципы фрактальной геометрии и стал искать способ реализовать ее в компьютерной графике. Всего за три дня работы Лорен смог визуализировать реалистичное изображение горной системы на своем компьютере. Иными словами, он с помощью формул нарисовал вполне узнаваемый горный пейзаж.
Принцип, который использовал Лорен для достижения цели, был очень прост. Он состоял в том, чтобы разделять более крупную геометрическую фигуру на мелкие элементы, а те, в свою очередь, делить на аналогичные фигуры меньшего размера.
Используя более крупные треугольники, Карпентер дробил их на четыре мелких и затем повторял эту процедуру снова и снова, пока у него не получался реалистичный горный ландшафт. Таким образом, ему удалось стать первым художником, применившим в компьютерной графике фрактальный алгоритм для построения изображений. Как только стало известно о проделанной работе, энтузиасты по всему миру подхватили эту идею и стали использовать фрактальный алгоритм для имитации реалистичных природных форм.
Одна из первых визуализаций 3D по фрактальному алгоритму
Всего через несколько лет свои наработки Лорен Карпентер смог применить в куда более масштабном проекте. Аниматор создал на их основе двухминутный демонстрационный ролик Vol Libre, который был показан на Siggraph в 1980 году. Это видео потрясло всех, кто его видел, и Лоурен получил приглашение от Lucasfilm.
Анимация рендерилась на компьютере VAX-11/780 от Digital Equipment Corporation с тактовой частотой пять мегагерц, причем прорисовка каждого кадра занимала около получаса.
Работая для Lucasfilm Limited, аниматор создавал по той же схеме трехмерные ландшафты для второго полнометражного фильма саги Star Trek. В фильме «Гнев Хана» (The Wrath of Khan) Карпентер смог создать целую планету, используя тот же самый принцип фрактального моделирования поверхности.
В настоящее время все популярные приложения для создания трехмерных ландшафтов используют аналогичный принцип генерирования природных объектов. Terragen, Bryce, Vue и прочие трехмерные редакторы полагаются на фрактальный алгоритм моделирования поверхностей и текстур.
⇡ Фрактальные антенны: лучше меньше, да лучше
За последние полвека жизнь стремительно стала меняться. Большинство из нас принимает достижения современных технологий как должное. Ко всему, что делает жизнь более комфортной, привыкаешь очень быстро. Редко кто задается вопросами «Откуда это взялось?» и «Как оно работает?». Микроволновая печь разогревает завтрак — ну и прекрасно, смартфон дает возможность поговорить с другим человеком — отлично. Это кажется нам очевидной возможностью.
Но жизнь могла бы быть совершенно иной, если бы человек не искал объяснения происходящим событиям. Взять, например, сотовые телефоны. Помните выдвижные антенны на первых моделях? Они мешали, увеличивали размеры устройства, в конце концов, часто ломались. Полагаем, они навсегда канули в Лету, и отчасти виной тому… фракталы.
Фрактальные рисунки завораживают своими узорами. Они определенно напоминают изображения космических объектов — туманностей, скопления галактик и так далее. Поэтому вполне закономерно, что, когда Мандельброт озвучил свою теорию фракталов, его исследования вызвали повышенный интерес у тех, кто занимался изучением астрономии. Один из таких любителей по имени Натан Коэн (Nathan Cohen) после посещения лекции Бенуа Мандельброта в Будапеште загорелся идеей практического применения полученных знаний. Правда, сделал он это интуитивно, и не последнюю роль в его открытии сыграл случай. Будучи радиолюбителем, Натан стремился создать антенну, обладающую как можно более высокой чувствительностью.
Единственный способ улучшить параметры антенны, который был известен на то время, заключался в увеличении ее геометрических размеров. Однако владелец жилья в центре Бостона, которое арендовал Натан, был категорически против установки больших устройств на крыше. Тогда Натан стал экспериментировать с различными формами антенн, стараясь получить максимальный результат при минимальных размерах. Загоревшись идеей фрактальных форм, Коэн, что называется, наобум сделал из проволоки один из самых известных фракталов — «снежинку Коха». Шведский математик Хельге фон Кох (Helge von Koch) придумал эту кривую еще в 1904 году. Она получается путем деления отрезка на три части и замещения среднего сегмента равносторонним треугольником без стороны, совпадающей с этим сегментом. Определение немного сложное для восприятия, но на рисунке все ясно и просто.
Существуют также другие разновидности «кривой Коха», но примерная форма кривой остается похожей
Когда Натан подключил антенну к радиоприемному устройству, он был очень удивлен — чувствительность резко увеличилась. После серии экспериментов будущий профессор Бостонского университета понял, что антенна, сделанная по фрактальному рисунку, имеет высокий КПД и покрывает гораздо более широкий частотный диапазон по сравнению с классическими решениями. Кроме того, форма антенны в виде кривой фрактала позволяет существенно уменьшить геометрические размеры. Натан Коэн даже вывел теорему, доказывающую, что для создания широкополосной антенны достаточно придать ей форму самоподобной фрактальной кривой.
Автор запатентовал свое открытие и основал фирму по разработке и проектированию фрактальных антенн Fractal Antenna Systems , справедливо полагая, что в будущем благодаря его открытию сотовые телефоны смогут избавиться от громоздких антенн и станут более компактными.
В принципе, так и произошло. Правда, и по сей день Натан ведет судебную тяжбу с крупными корпорациями, которые незаконно используют его открытие для производства компактных устройств связи. Некоторые известные производители мобильных устройств, как, например, Motorola, уже пришли к мирному соглашению с изобретателем фрактальной антенны.
⇡ Фрактальные измерения: умом не понять
Этот вопрос Бенуа позаимствовал у знаменитого американского ученого Эдварда Каснера.
Последний, как и многие другие известные математики, очень любил общаться с детьми, задавая им вопросы и получая неожиданные ответы. Иногда это приводило к удивительным последствиям. Так, например, девятилетний племянник Эдварда Каснера придумал хорошо всем известное теперь слово «гугол», обозначающее единицу со ста нулями. Но вернемся к фракталам. Американский математик любил задавать вопрос, какова длина береговой линии США. Выслушав мнение собеседника, Эдвард сам говорил правильный ответ. Если измерять длину по карте ломаными отрезками, то результат окажется неточным, ведь береговая линия имеет большое количество неровностей. А что будет, если измерять максимально точно? Придется учитывать длину каждой неровности — нужно будет измерять каждый мыс, каждую бухту, скалу, длину скалистого уступа, камня на ней, песчинки, атома и так далее. Поскольку число неровностей стремится к бесконечности, измеренная длина береговой линии будет при измерении каждой новой неровности увеличиваться до бесконечности.
Чем меньше мера при измерении, тем больше измеряемая длина
Интересно, что, следуя подсказкам Эдварда, дети намного быстрее взрослых говорили правильное решение, в то время как у последних были проблемы с принятием такого невероятного ответа.
На примере этой задачи Мандельброт предложил использовать новый подход к измерениям. Поскольку береговая линия близка к фрактальной кривой, значит, к ней можно применить характеризующий параметр — так называемую фрактальную размерность.
Что такое обычная размерность — понятно любому. Если размерность равна единице, мы получаем прямую, если два — плоскую фигуру, три — объем. Однако такое понимание размерности в математике не срабатывает с фрактальными кривыми, где этот параметр имеет дробное значение. Фрактальную размерность в математике можно условно рассматривать как «неровность». Чем выше неровность кривой, тем больше ее фрактальная размерность. Кривая, обладающая, по Мандельброту, фрактальной размерностью выше ее топологической размерности, имеет аппроксимированную протяженность, которая не зависит от количества измерений.
В настоящее время ученые находят все больше и больше областей для применения теории фракталов. С помощью фракталов можно анализировать колебания котировок на бирже, исследовать всевозможные естественные процессы, как, например, колебание численности видов, или моделировать динамику потоков. Фрактальные алгоритмы могут быть использованы для сжатия данных, например для компрессии изображений. И кстати, чтобы получить на экране своего компьютера красивый фрактал, не обязательно иметь докторскую степень.
⇡ Фрактал в браузере
Пожалуй, один из самых простых способов получить фрактальный узор — воспользоваться онлайновым векторным редактором от молодого талантливого программиста Toby Schachman . В основе инструментария этого простого графического редактора лежит все тот же принцип самоподобия.
В вашем распоряжении имеется всего две простейших формы — четырехугольник и круг. Вы можете добавлять их на холст, масштабировать (чтобы масштабировать вдоль одной из осей, удерживайте клавишу Shift) и вращать. Перекрываясь по принципу булевых операций сложения, эти простейшие элементы образуют новые, менее тривиальные формы. Далее эти новые формы можно добавлять в проект, а программа будет повторять генерирование этих изображений до бесконечности. На любом этапе работы над фракталом можно возвращаться к любой составляющей сложной формы и редактировать ее положение и геометрию. Увлекательное занятие, особенно если учесть, что единственный инструмент, который вам нужен для творчества, — браузер. Если вам будет непонятен принцип работы с этим рекурсивным векторным редактором, советуем вам посмотреть видео на официальном сайте проекта, на котором подробно показывается весь процесс создания фрактала.
⇡ XaoS: фракталы на любой вкус
Многие графические редакторы имеют встроенные средства для создания фрактальных узоров. Однако эти инструменты обычно являются второстепенными и не позволяют выполнить тонкую настройку генерируемого фрактального узора. В тех случаях, когда необходимо построить математически точный фрактал, на помощь придет кроссплатформенный редактор XaoS . Эта программа дает возможность не только строить самоподобное изображение, но и выполнять с ним различные манипуляции. Например, в режиме реального времени вы можете совершить «прогулку» по фракталу, изменив его масштаб. Анимированное движение вдоль фрактала можно сохранить в виде файла XAF и затем воспроизвести в самой программе.
XaoS может загружать случайный набор параметров, а также использовать различные фильтры постобработки изображения — добавлять эффект смазанного движения, сглаживать резкие переходы между точками фрактала, имитировать 3D-картинку и так далее.
⇡ Fractal Zoomer: компактный фрактальный генератор
По сравнению с другими генераторами изображений фракталов имеет несколько преимуществ. Во-первых, он совсем небольшой по размеру и не требует установки. Во-вторых, в нем реализована возможность определять цветовую палитру рисунка. Вы можете выбирать оттенки в цветовых моделях RGB, CMYK, HVS и HSL.
Также очень удобно использовать опцию случайного подбора цветовых оттенков и функцию инвертирования всех цветов на картинке. Для настройки цвета имеется функция цикличного перебора оттенков — при включении соответствующего режима программа анимирует изображение, циклично меняя на нем цвета.
Fractal Zoomer может визуализировать 85 различных фрактальных функций, причем в меню программы наглядно показываются формулы. Фильтры для постобработки изображения в программе имеются, хотя и в небольшом количестве. Каждый назначенный фильтр можно в любой момент отменить.
⇡ Mandelbulb3D: редактор трехмерных фракталов
Когда употребляется термин «фрактал», чаще всего подразумевается плоское двухмерное изображение. Однако фрактальная геометрия выходит за рамки 2D-измерения. В природе можно найти как примеры плоских фрактальных форм, скажем, геометрию молнии, так и трехмерные объемные фигуры. Фрактальные поверхности могут быть трехмерными, и одна из очень наглядных иллюстраций 3D-фракталов в повседневной жизни — кочан капусты. Наверное, лучше всего фракталы можно разглядеть в сорте романеско — гибриде цветной капусты и брокколи.
А еще этот фрактал можно съесть
Создавать трехмерные объекты с похожей формой умеет программа Mandelbulb3D . Чтобы получить трехмерную поверхность с использованием фрактального алгоритма, авторы данного приложения, Дениэл Уайт (Daniel White) и Пол Ниландер (Paul Nylander), преобразовали множество Мандельброта в сферические координаты. Созданная ими программа Mandelbulb3D представляет собой самый настоящий трехмерный редактор, который моделирует фрактальные поверхности разных форм. Поскольку в природе мы часто наблюдаем фрактальные узоры, то искусственно созданный фрактальный трехмерный объект кажется невероятно реалистичным и даже «живым».
Он может походить на растение, может напоминать странное животное, планету или что-нибудь другое. Этот эффект усиливается благодаря продвинутому алгоритму визуализации, который дает возможность получать реалистичные отражения, просчитывать прозрачность и тени, имитировать эффект глубины резкости и так далее. В Mandelbulb3D имеется огромное количество настроек и параметров визуализации. Можно управлять оттенками источников света, выбирать фон и уровень детализации моделируемого объекта.
Фрактальный редактор позволяет создавать анимацию. Вы не только конфигурируете трехмерное множество Мандельброта, но и можете его вращать, масштабировать и менять параметры с течением времени.
⇡ Генератор трехмерных фракталов Incendia
Фракталы: музыкальная пауза
Вообще-то фракталы могут помочь написать музыку даже без программного обеспечения. Но это может сделать только тот, кто по-настоящему проникнут идеей природной гармонии и при этом не превратился в несчастного «ботана». Тут есть смысл брать пример с музыканта по имени Джонатан Колтон (Jonathan Coulton), который, помимо всего прочего, пишет композиции для журнала Popular Science. И не в пример другим исполнителям, Колтон все свои произведения публикует под лицензией Creative Commons Attribution-Noncommercial, которая (при использовании в некоммерческих целях) предусматривает свободное копирование, распространение, передачу произведения другим лицам, а также его изменение (создание производных произведения), чтобы приспособить его к своим задачам.
У Джонатана Колтона, конечно же, есть песня про фракталы.
⇡ Заключение
Во всем, что нас окружает, мы часто видим хаос, но на самом деле это не случайность, а идеальная форма, разглядеть которую нам помогают фракталы. Природа — лучший архитектор, идеальный строитель и инженер. Она устроена очень логично, и если где-то мы не видим закономерности, это означает, что ее нужно искать в другом масштабе. Люди все лучше и лучше это понимают, стараясь во многом подражать естественным формам. Инженеры проектируют акустические системы в виде раковины, создают антенны с геометрией снежинок и так далее. Уверены, что фракталы хранят в себе еще немало секретов, и многие из них человеку еще лишь предстоит открыть.