Какая последовательность чисел является арифметической прогрессией. «Арифметическая прогрессия. II. Актуализация знаний, устная работа
Разработка урока по теме:
учителя МБОУ школы №95 Нижневской Натальи Владимировны.
Цели: систематизировать и обобщить материал по теме: «Арифметическая прогрессия»; совершенствовать навыки решения задач по теме; развивать интерес к изучению математики; сообщить исторические сведения о К.Ф. Гауссе.
II. Актуализация знаний, устная работа
Это проблема, которая также нравится видеть в контексте философии природы, где простота атомного строительства мира усугубляется сложностью, скажем, живого организма. Начнем с математики. Рассмотрим следующее уравнение. Уравнения этого типа называются рекурсивными, потому что их результат достигается повторением одного и того же действия. Из-за не столь интуитивного способа умножения комплексных чисел уравнение иногда ведет себя нетривиально.
I. Организационный момент, постановка задачи
Возникает вопрос: как будет вести себя это уравнение для любого произвольного р-значения, если мы будем вычислять произвольно «далекие» члены уравнения? Множество Мандельброта представляет собой множество всех чисел, для которых описываемое рекурсивное уравнение не приводит к бесконечности. Однако этот график был составлен с учетом только 12 цифр; И что произойдет, если мы возьмем еще немного образца? После вычисления поведения уравнения для 200 различных чисел получается немного более интересный граф.
Ход урока
- Организационный момент
- Актуализация знаний учащихся
Теоретический опрос:
- Дайте определение арифметической прогрессии.
- Назовите формулу n-го члена арифметической прогрессии.
- В чем заключается характеристическое свойство арифметической прогрессии?
- Назовите формулу суммы членов конечной арифметической прогрессии.
- Какая последовательность называется возрастающей?
- Какая последовательность называется убывающей?
- При каком условии арифметическая прогрессия является возрастающей?
- При каком условии арифметическая прогрессия является убывающей?
- Индивидуальная работа учащихся
- Решение по учебнику у доски
Ученик №1
Однако нет предела «разрешению» нашего исследования - множество Мандельброта содержит все числа, удовлетворяющие описанному условию; Это набор бесконечных чисел. Поэтому, если мы сделаем достаточно большой образец комплексных чисел, мы получим следующий известный граф.
Прежде чем идти дальше, стоит остановиться на мгновение, чтобы оценить роль компьютеров в математических открытиях. Предположим, что мы хотим следовать поведению уравнения для 200 различных комплексных чисел, выполняя 10 шагов уравнения, т.е. от 0 до 10. Предположим, что хороший математик выполнит такую пару вычислений за 10 секунд. Это означает, что почти 6 часов непрерывной работы, Эффект - это всего лишь тонкий контур коллекции Мандельброта!
№ 467: Числа -100 и -78 являются соответственно седьмым и девятым членами арифметической прогрессии. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии и сумму ее первых двадцати членов.
Дополнительные вопросы
y= х
Ученик №2
Учебник: Алгебра 9 часть 2. Задачник. А.Г. Мордкович
№ 470: Улитка ползет по дереву. За первую минуту она проползла 30 см, а за каждую следующую - на 5 см больше, чем за предыдущую. За какое время достигнет улитка вершины дерева длиной 5,25 м, если считать, что движение начато от его основания?
Получите полную информацию о иллюстрации типа на рис. 3 требует не только «проверки» большего количества очков, но и создания большего количества итераций для каждой точки. Визуализация фрагмента коллекции Мандельброта. Стоит вспомнить суть рассматриваемого явления. Вспомним две белые точки, отмеченные на иллюстрации. «Северо-восток» представляет собой число, которое после подстановки уравнения выйдет из бесконечности. Как «грызть» проблему?
Начнем с того, что попытаемся определить его: что здесь интересного? Большинство людей, затаскиваемых в водоворот коллекции Мандельброта, обычно говорят об удивительной комбинации простоты уравнения, которое генерирует эту коллекцию со сложностью ее графического представления. По-видимому, две линии, определяющие рекурсивное уравнение, содержат ключ к феноменальной вселенной геометрических фигур. Существуют уравнения в много раз дольше, которые не генерируют ничего более захватывающего, чем круг или точка.
Решение
a ₁=30, d =5, S n=525
(55+5n).n=1050,
55n+5n²-1050=0,
n ²+11n-210=0,
D =121+840=961
Ответ: 10 минут.
Дополнительные вопросы
Какова область определения функции y= ? Какова область значений этой функции?
Ученик №3
Учебник: Алгебра 9 часть 2. Задачник. А.Г. Мордкович
№ 471: Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходили на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000 м?
Здесь то, что начиналось как простое арифметическое упражнение, оказалось темой, достойной многих монографий. Где мост между алгеброй комплексных чисел и тем? Где «сидящая» сложность коллекции Мандельброта? Вначале лучше взглянуть на теорему о математической простоте уравнения. Да, это просто, но в изоляции от языка алгебры есть не что иное, как бессмысленная строка знаков! Появляется биологическая аналогия. Гены выражены как белки, но они функционируют в биохимической среде, законы которой вряд ли будут сложными.
Информация, представленная нуклеотидными последовательностями, представляет собой лишь каплю в море информации, которая «используется» при построении человеческого тела. Говоря о аристотелевской метафизике, гены содержат рецепт для почек или мозга только потенциально, и все же им необходимо взаимодействовать с биологическими и абиотическими реалиями мира. Однако жанр человека не может сам по себе ничего не производить.
Решение
a ₁=1400, d =-100, =5000,
29 n - n ²-100=0,
n ²-29 n +100=0,
D =841-400=441,
n₁= - 25 - не соответствует условию задачи,
n₂= 4.
Ответ: 4 дня.
Дополнительные вопросы
Какова область определения функции y= ? Какова область значений этой функции?
- Решение по карточкам в тетрадях
Карточка №1
Многие философы считали существование в потенции «низшим» по отношению к текущему существованию - например, существо в потенции не может быть причиной события. Обратите внимание, что первое изображение на этой странице, которое в своих математических «бебечами» ничем не отличается от последнего, не помешало бы большинству людей в страхе. Дорога от простоты до сложности не так проста, как может показаться. Это не внезапный переход от уравнения к рис. 5, так как нет простого перехода от генома к взрослым организмам.
Сложность растет шаг за шагом с появлением большего количества «игроков». На математической стороне есть дальнейшие теоремы алгебры, последующие математические операции и последующие правила окраски. На стороне биологии есть законы генетики, биофизики и клеточной биологии и взаимодействия клеток с окружающей средой.
- Проверьте, является ли число 4,5 членом арифметической прогрессии
1,5; -1; -0,5;…Найти S₁₃ .
- Начиная с какого номера все члены заданной арифметической прогрессии будут больше числа 14,7, если известно, что a₁=4, d=2,2?
Карточка №2
- Проверьте, является ли число 43,5 членом арифметической прогрессии 7,5; 11; 14,5;…Найти S ₁₁.
- Начиная с какого номера все члены арифметической прогрессии, где a₁=14,5, d=0,7 будут больше числа 22,9?
- Устная работа учащихся
Пока три ученика готовятся отвечать у доски, два ученика решают задания по карточкам в тетрадях, класс работает устно. Во время устной работы используется компьютерное обеспечение. С помощью проектора на экране:
III. Изучение нового материала
Наконец, самая твердая гайка для взлома. Почему одно уравнение может «генерировать» Морскую лошадь и Долину слонов, а другое ничего или ничего интересного? Аналогия с биологией помогает лишь частично. Случайно выбранная последовательность нуклеотидов не представляет собой «фертильный» геном, который способен «генерировать» мозг или почки. Этот тип случайных «псевдогенов» абсолютно бесплоден, потому что, переведя его на белковый язык и введя эти белки в существующий мир химических реакций и клеточных мембран, связь между этими объектами не происходит.
После правильного ответа учащихся верный вариант ответа выделяется на экране зеленым цветом.
Учитель: Ребята, вы сейчас вычислили сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, воспользовавшись формулой суммы членов конечной арифметической прогрессии. А известный немецкий математик XIX века Карл Фридрих Гаусс еще в детстве решил эту задачу за одну минуту. Он заметил закономерность, которая присуща арифметической прогрессии. Сообразив, что суммы 1+100, 2+99, 3+98 и т.д. равны, он умножил 101 на 50, т.е. на число таких сумм.
Учитель демонстрирует учащимся портрет К.Ф.Гаусса.
Ученик сообщает историческую справку о К.Ф.Гауссе.
- Самостоятельная работа
Пока у доски работают учащиеся, готовясь к ответу, остальные выполняют №443. А затем заполняют таблицу, ранее выведенную на экране.
| a ₁ | d | a | n | Sn |
| 7 | 4 | 55 | 13 | 403 |
| 2 | 2 | 80 | 40 | 1640 |
| 56 | -3 | 26 | 11 | 451 |
| 2 | 5 | 87 | 18 | 801 |
| 9 | 2 | 21 | 7 | 105 |
После выполнения всеми учащимися №443, осуществляется проверка путем заполнения таблицы на экране.
- Физкультминутка
Учитель: А сейчас, ребята, вы немного отдохнете. На экране вы увидите числовые последовательности. Если последовательность является возрастающей - поднимите руки вверх. Если последовательность является убывающей - опустите руки вниз.
На экране появляются числовые последовательности:
|
Тест выполняется по вариантам, который проверяется с помощью экрана. После выполнения учащимися теста, правильные ответы выводятся в виде таблицы на экран.
Вариант I
- Найдите четвертый член арифметической прогрессии: 13,9,…
а)0; б)6; в)-1; г)1.
- Дана арифметическая прогрессия -3,5; -2;…Найдите номер члена этой
прогрессии, равного 59,5.
а)44; б)43; в)34; г)нет такого номера.
3. Найдите сумму первых 16 членов арифметической прогрессии, заданной
Формулой =6n+2…. .
А)864; б)848; в)792; г)716.
4. Сумма второго и третьего членов арифметической прогрессии, равна 16, а
Разность прогрессии равна 4. Найдите первый член прогрессии.
А)2; б)4; в)5; г)6.
5. Сколько членов арифметической прогрессии -2; 2;… меньше числа 55?
А)15; б)19; в)16; г)13.
Вариант2
- Найдите первый член арифметической прогрессии: a₁, а₂, 4, 8.
а)1; б)12; в)-4; г)-1.
- Дана арифметическая прогрессия 8,2; 6,6; … Найдите номер члена этой прогрессии, равного -15,8.
а) 16; б)14; в)17; г)нет такого номера.
- Найдите сумму первых четырнадцати членов арифметической прогрессии, заданной формулой =5n-1.
а) 511; б)510; в)470; г)-510.
- Третий член арифметической прогрессии равен 6, а пятый равен 10. Найдите первый член прогрессии.
а)1; б)2; в)-1; г)0.
- Сколько членов арифметической прогрессии -12; -8;… меньше числа 48.
а)15; б)18; в)16; г)12.
Проверка тестовой работы
На экране:
| Вопрос | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Вариант 1 | г | б | б | а | а |
| Вариант 2 | в | а | а | б | а |
- Итоги урока
После проверки теста учитель сообщает количество «5», «4», «3», а так же оценки полученные учащимися, работавшими у доски и по карточкам в тетрадях.
Домашнее задание: № 453 (г), 454 (б), 460 (б), 450 (а).
«Числовая последовательность» - Числовая последовательность (числовой ряд): числа, выписанные в определённом порядке. Обозначение последовательности. 1. Определение. 2. Способы задания последовательностей. 1. Формула n-го члена последовательности: - позволяет найти любой член последовательности. Член последовательности. Порядковый номер члена последовательности.
«Пределы последовательностей и функций» - Например. Последовательности. Предел числовой последовательности. Практические задания. Рабочую тетрадь по окончании изучения сдать на проверку учителю. Содержатся. Ответ: начиная с n0=4 все члены последовательности (хn) попадают в окрестность (-0.1;0.1). Обратите внимание как ведут себя члены последовательности.
«Урок прогрессии» - Числа 5, -10, 20, 240, 80 … -640 – геометрическая прогрессия со знаменателем равным -2. Чем грозит такое быстрое размножение насекомых? Ежедневно каждый болеющий гриппом человек может заразить 4 окружающих. Каждая муха откладывает 120 яиц. Экология. Запомнить надо два числа: -2 и 5. В период интенсивного роста человек растёт в среднем на 5см в год.
«Задачи на прогрессии» - 1 2 3 4 5.. 1. Одна из двух данных последовательностей является арифметической прогрессией, другая – геометрической: Цели урока: Систематизировать знания по теме арифметическая и геометрическая прогрессии. Задача. 4. Последовательность задана несколькими первыми членами. б) Сколько квадратов 11-ом столбце?
«Последовательности» - - Формула n-ого члена арифметической прогрессии. Последовательность квадратов натуральных чисел: D – разность арифметической прогрессии. Пример: последовательность положительных двузначных чисел: Бесконечные: Нахождение суммы n первых членов арифметической прогрессии: Нахождение n-ого члена арифметической прогрессии:
«Последовательность» - Обозначают члены последовательности так а1; а2; а3; а4; … аn; Историческая справка. Рекуррентное задание последовательности может быть и более сложным. Последовательности составляют такие элементы природы, которые можно как то пронумеровать. Что есть последовательность? Какие способы задания последовательности вы знаете.