Геометрическая прогрессия со знаменателем 2. Арифметическая прогрессия
МОУ ЮЛОВСКАЯ ОСНОВНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА
ИНЗЕНСКОГО РАЙОНА УЛЬЯНОВСКОЙ ОБЛАСТИ
УРОК- ЛЕКЦИЯ
ПО АЛГЕБРЕ
(9 КЛАСС)
ПО ТЕМЕ:
Это зависит не только от одного элемента. Когда это происходит, мы говорим, что функции имеют общие вариации или комбинированные вариации. При комбинированном изменении мы имеем как прямые вариации, так и косвенные вариации. Геометрическая серия - это то, что происходит, когда мы суммируем геометрическую последовательность, ладно? Последовательность представляет собой ряд чисел, сумма всегда складывается вместе. И чтобы найти сумму геометрического ряда, мы имеем в своем распоряжении ряд различных уравнений, хорошо?
Итак, что у нас есть для конечного ряда, хорошо, это серия с заданным числом членов, у нас есть эти 2 уравнения в верхней части доски. Это противоположные утверждения, если вы переключаете один из них, вы переключаете другой. Так что либо одно из них прекрасно, хорошо? У вашей книги может быть 1, просто пойдите с тем, что имеет ваша книга, или ваш учитель говорит вам. У нас также есть другая формула для бесконечного ряда, и в основном это то, что никогда не заканчивается, хорошо? Но в основном то, что у нас есть, поэтому у нас есть эти 2 для конечных и один для бесконечного.
« ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
ПРОГРЕССИЯ».
ВЫПОЛНИЛА
УЧИТЕЛЬНИЦА
МАТЕМАТИКИ
Н.И. ЗУБКОВА.
УРОК – ЛЕКЦИЯ
ПО АЛГЕБРЕ (9 класс)
ПО ТЕМЕ: «ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ»
(2 УРОКА)
ЦЕЛЬ УРОКА:
1.Расширить знания учащихся о последовательностях, о прогрессиях.
Итак, мы говорим, что у нас нет определенного номера термина, что означает, что мы суммируем все, хорошо? Есть одно ограничение, которое мы должны иметь, когда мы суммируем бесконечную серию, и это то, что наша абсолютная ценность нашего курса должна быть меньше 1, ладно?
И что это значит, что наши условия должны уменьшаться, хорошо? И что произойдет, если мы объединим все эти термины вместе, настолько маленькие, что они не собираются ничего делать. Поэтому наш следующий срок будет один шестнадцатый, один тридцать второй, один шестьдесят четвертый так далее и т.д. в конце концов, эти цифры, когда мы будем иметь дело с целыми числами, не будут иметь никакого значения, хорошо. Мы добавляем одну тысячную до числа, которое у нас уже есть, это не будет иметь никакого значения.
Ввести понятие геометрической прогрессии, рассмотреть свойства ее членов. С доказательством ввести формулу _ п -го члена прогрессии, формулы суммы п первых членов прогрессии. Ввести понятие бесконечной убывающей геометрической прогрессии и формулу суммы ее членов.
2. Способствовать формированию у учащихся логического мышления; вычислительных навыков; внимания и аккуратности при применении определения и формул п -го члена и суммы п первых членов геометрической прогрессии; самостоятельности. Вызвать интерес у учащихся к математике.
Так вот как работает это уравнение бесконечной серии. Вы просто рассчитываете на эти цифры, чтобы в конечном итоге быть настолько маленькими, что они не будут влиять на нашу сумму. Итак, 2 действительно 3 разных уравнения для суммирования геометрической последовательности, геометрического ряда. Выберите 2 или попытайтесь выбрать один из этих 2, и тогда вы также должны помнить об этом. У нас есть наш конечный и наш бесконечный. Легко видеть, что список чисел, содержащих арифметическую или геометрическую последовательность, неограниченно возрастает.
3. Способствовать формированию у учащихся умений выделять из представленных последовательностей геометрическую прогрессию, уметь выполнять вывод и применять при решении задач формулы п -го члена и формул суммы п членов геометрической прогрессии.
ПЛАН УРОКА:
Организационный момент.
В примерах мы используем положительные числа. Мы можем следовать одной и той же настройке с гармонической последовательностью, требуя, чтобы второе из трех чисел в строке было средним гармоником первого и третьего, то есть. Усложнение состоит в том, что общий вид гармонической последовательности гораздо менее интуитивен, и это, несомненно, почему Маркус задал ему свой вопрос.
Нам просто нужно, чтобы у было гармоническим средним для х и г, т.е. Наша первая гармоническая последовательность недолговечна. То есть, мы решаем для того, чтобы получить. Как будет показано ниже, обратное направление всегда уменьшается неопределенно, приближается к 0, но никогда не достигает его. Возвращаясь к прямому направлению, мы видим, что если в любой точке генерации гармонической последовательности последнее число удваивает второе-последнее число, мы получим нулевой знаменатель, если попытаемся найти следующее число в последовательность.
Постановка цели урока перед учащимися .
Изучение нового материала и его закрепление.
3.1.Определение геометрической прогрессии
3.2.Вывод формулы п-го члена геометрической прогрессии .
3 .3 .Вывод формулы суммы n - первых членов геометрической прогрессии.
Экспериментация, по-видимому, указывает на альтернативу, что в какой-то момент последнее число будет больше, чем второе-последнее число, и в этом случае новый знаменатель будет отрицательным, и на самом деле последовательность будет отрицательной с этого момента и далее!
Мы видим, что прямое направление либо повторяет те же величины, что и в обратном направлении, либо принимает другой путь при приближении к нулю. Ну, поверьте или нет, существует довольно запутанный, но аналогичный подход для генерации гармонической последовательности. Который оказывается таким же, как и в арифметической последовательности. Продолжая таким образом, следующие три условия.
3.4. Определение бесконечной геометрической прогрессии.
3.5. Вывод формулы суммы бесконечной геометрической прогрессии
при | g |
3.6. Сообщение ученика.
4. Подведение итогов урока.
5. Домашнее задание.
6. Литература.
ХОД УРОКА.
1. Организационный момент.
Другими словами, общий вид. Возможно, наиболее важным классическим использованием геометрических последовательностей является «пифагорейская лямбда», которая «изобилует арифметическими, геометрическими и гармоническими средствами». Интересно, что для геометрических последовательностей отрицательные числа не так естественно объединяются с положительными числами, как и с арифметическими последовательностями.
Поскольку мы начинаем с двух положительных чисел, чтобы начать процесс, последовательность останется положительной до тех пор, пока эта ситуация не будет описана. В любом случае интересно взглянуть, что ¥ и - ¥ являются одними и теми же, что иногда делается при «завершении» системы действительных чисел добавлением единственной «точки», называемой просто. С этой точки зрения гармонические последовательности, которые не «тупик» на «вместо», «проходят через» ¥ и переходят к отрицательной стороне строки реального числа.
2.Постановка цели урока перед учащимися .
Научиться выделять среди всех последовательностей
геометрическую прогрессию и ее свойства, решать задачи по теме.
3.Изучение нового материала и его закрепление.
3.1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.
ЗАДАЧА.
В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении первой минуты одна из них делится на две. Запишите колонию, рожденную одной бактерией за семь минут.(см. рисунок).
После этого такие гармонические последовательности затем возрастают до 0, так как обратное направление уменьшается до. Тогда первые пять терминов становятся. Луис Гонсало Ревело Пабон 71 Департамент математики - Горетти √ √ √ √ Поэтому геометрическая прогрессия: Семинар. В геометрической прогрессии и найдите причину и первые 5 членов геометрической прогрессии. В геометрической прогрессии и найдите причину и первые 4 члена геометрической прогрессии. В геометрической прогрессии и соотношении равна 0, найдите восьмой член. Решение Найдите причину и первый термин. В геометрической прогрессии и найдите соотношение и сумму первых четырех членов геометрической прогрессии. Третий член геометрической прогрессии стоит 80, а причина - найти сумму первых пяти терминов. Причиной геометрической прогрессии является 3, и стоит третий термин. Найдите сумму первых восьми терминов. Количество условий Примеры: правый конец геометрической прогрессии. . В числовой строке, указанной ниже, все отмеченные точки равномерно распределены.
.
. .
. . . .
. . . . . . . .
1 ). Выпишите последовательность в соответствии с условием задачи.
1;2;4;8;16;32;64.
или ( b п ) - последовательность,
b 1 =1; b 2 =2; b 3 =4; b 4 =8; b 5 =16; b 6 =32; b 7 =64;
Обратите внимание, что между 3 и 4 есть только одна седьмая целой единицы, разделенная на 4 части. Учитель математики применяет три теста на своем курсе, каждый из которых стоит от 0 до 10 баллов. Для того, чтобы быть утвержденным по предмету, студент должен иметь окончательный знак 5 или выше. Согласно этому критерию, студент будет утвержден в этой дисциплине независимо от оценок, сделанных в первых двух тестах, если хотя бы отметить.
Обратите внимание, что вес 3 составляет 3² =. Предполагая, что метки в первых двух тестах равны нулю, то есть их утверждение зависит только от оценки в последнем тесте, поэтому мы имеем. Площадь этого треугольника в см2 равна. Стороны смежны с углом. Три цифры образуют геометрическую прогрессию. Среднее арифметическое первых двух равно 6, а среднее из второго с третьим. Таким образом, сумма членов этой прогрессии равна.
2) Найдите частное от деления последующего члена на предыдущий член.
b 3 : b 2 =4: 2=2 ;
b 4 : b 3 =8: 4=2;
b 5 : b 4 = 16: 8=2; и т.д.
g -знаменатель прогрессии.
= b 2 : b 1 = b 3 : b 2 = b 4 : b 3 =…= b п+1 : b п
3).Задайте эту последовательность с помощью рекуррентной формулы.
b 2 = 2 b 1
b 3 = 2 b 2
b 4 = 2 b 3…..
b п+1 = b п
УЧИТЕЛЬ: Такую последовательность в математике называют геометрической прогрессией.
4) Формулировка определения геометрической прогрессии.
Учащиеся пытаются дать определение геометрической прогрессии, а учитель помогает им.
5) Работа с учебником.
Учащиеся находят правило в учебнике, один из учащихся
читает определение вслух, учитель обращает внимание
учащихся на то, что в определение сказано «члены отличные
от нуля». Как вы думаете почему?
6).Найдите среднее геометрическое чисел 2 и 8; 4и 16; 8и 32;16и 64.
=4
=8
= 16
=32
B n
Из равенства = b 2 : b 1 = b 3 : b 2 = b 4 : b 3 =…= b п : b п-1 = b п+1 : b п
получим b п : b п-1 = b п+1 : b п или b 2 п = b п-1 * b п+1 , то
ВЫВОД: Каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, есть среднее геометрическое между предыдущим и последующим членами прогрессии. Отсюда и произошло название прогрессии.
7) Найдите произведение 1 и 7 членов, 2 и 6 членов, 3 и 5 членов геометрической прогрессии и сравните результаты.
b 1 * b 7 = 1 * 64=64
b 2 * b 6 = 2 * 32=64
b 3 * b 5 = 4 *16=64
Вывод: b 1 ⋅b п = b 2 ⋅b п-1 = b 3 ⋅b n – 3 = … , т.е. произведение членов, равноудаленных от концов прогрессии, есть величина постоянная .
ЗАДАЧА.1. Дано: (b n )-геометрическая прогрессия, b 1 =3, =2.
Найти: первые пять членов прогрессии.
Решение:
b 2 = b 1 * g = 3*2=6
b 3 = b 2 * g =6*2=12
b 4 = b 3 * g =12*2=24
b 5 = b 4 * g =24*2=48
Ответ: 3; 6;12;24;48.
3.2.ВЫВОД ФОРМУЛЫ П-ГО ЧЛЕНА ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.
( b n )- геометрическая прогрессия , b 1 , g .
b 2 = b 1 * g
b 3 = b 2 * g = b 1 * g * g = b 1 * g 2
b 4 = b 3 * g = b 1 * g 2 * g = b 1 * g 3
b 5 = b 4 * g = b 1 * g 3 * g = b 1 * g 4
…………………………………………….
b n = b 1 * g n-1
- формула п-го члена геометрической прогрессии.
ЗАДАЧА.2. Дано: ( b n )-геометрическая прогрессия, b 1 =8 , = .
Найти: , b 6
Решение:
b n = b 1 * g n -1
b 6 = b 1 * g 6-1
b 6 = 8*( 5 = 8* = .
Ответ: b 6 = .
3.3.ВЫВОД ФОРМУЛЫ СУММЫ n - ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.
ЗАДАЧА-ПРОБЛЕМА 1.
Однажды незнакомец постучал в окно к богатому купцу и предложил такую сделку: « Я буду ежедневно в течение 30 дней приносить тебе по 100 000 рублей. А ты мне в первый день за 100 000 рублей дашь 1копейку, во второй день за 100 000 рублей – 2копейки и так каждый день будешь увеличивать предыдущее число денег в два раза. Если выгодна сделка тебе, то с завтрашнего дня и начнем». Купец обрадовался такой сделке. Он подсчитал, что за 30дней получит от незнакомца 3 000 000 рублей. На следующий день они пошли к нотариусу и узаконили сделку. Кто в этой сделке проиграл?
Учитель: В этой задаче дана последовательность 1,2,4,8,16,32,64,128,256, ...,которая является геометрической прогрессией. Надо найти сумму тридцати первых членов этой геометрической прогрессии .
ЗАДАЧА-ПРОБЛЕМА.2.
По преданию, индийский принц Сирам, восхищенный остроумием игры и разнообразием возможных положений шахматных фигур, позвал к себе ее изобретателя ученого Сету и сказал ему: « Я желаю достойно вознаградить тебя за эту прекрасную игру. Я достаточно богат, чтобы исполнить любое твое желание». Сета попросил принца положить на первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, на вторую- 2зерна, на третью-4зерна и т. д. Сможет ли принц расплатиться с ученым?
Учитель: В этой задаче дана последовательность 1,2,4,8,16,…, которая является геометрической прогрессией. Надо найти сумму 64-х первых членов этой геометрической прогрессии.
( b n ) - геометрическая прогрессия , b 1 , g .
S n - сумма п первых членов геометрической прогрессии
S n = b 1 + b 2 + b 3 + b 4 + b 5 +… + b n-1 + b n
S n * g = b 1 * g + b 2 *g + b 3 *g+ b 4 *g + b 5 *g+… + b n-1 *g+ b n *g
S n * g= b 2 + b 3 + b 4 + b 5 +… + b n + b n *g
S n * g - S n = b n *g - b 1
S n ( g-1) = b n *g - b 1
S n =
формула суммы п первых членов геометрической прогрессии .
b n = b 1 * g n-1
S n =
S
n
=
S n =
формула суммы п первых членов геометрической прогрессии.
Учитель: Вернемся к предложенным задачам –проблемам .
К задаче 1.
S
30
=
=
=
1073741824 -1 = 1 073 741 823 (коп)
К задаче 2.
S
64
=
=
= 18 446 744 073 709 551
615
18,5 *10
18
Если бы принцу удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности земли, считая и моря и океаны и горы и пустыни и Арктику и Антарктику и получить удовлетворительный урожай, то за пять лет он бы смог рассчитаться с изобретателем шахмат.
Задача 3 . Дано: ( b n )-геометрическая прогрессия, b 1 =8 , = .
Найти: S 5.
Решение:
S n =
S 5 =
S 5 = =8* (- ) * (- ) =15,5
Ответ: 15,5.
Задача 4 . Дано: 3; - 6; …. - геометрическая прогрессия.
Найти: S 6
Решение:
S n =
g = b 2 : b 1 = -6:3=-2.
S 6 =
S
6
=
=
Ответ : - 63.
3.4.БЕСКОНЕЧНАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ.
ЗАДАЧА-ПРОБЛЕМА.
Ученик идет от стола учителя к двери. Первый шаг он делает длиной 1 метр, другой - полметра, третий- четверть метра и т.д. Дойдет ли ученик до двери, если до нее 3 метра?
Учитель. Получили последовательность 1,1/2,1/4, 1/8,….Данная последовательность является бесконечной геометрической прогрессией со знаменателем g =
Определение: Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия - это прогрессия, у которой |q| первых членов рассматриваемой прогрессии при неограниченном возрастании числа .
«Последовательность» - Мы получили не что иное, как числа Фибоначчи. Какая формула называется рекуррентной? Последовательности составляют такие элементы природы, которые можно как то пронумеровать. Что есть последовательность? Между числами Фибоначчи и треугольником Паскаля существует интересная связь. Аналитический способ задаёт последовательность с помощью формулы n-ного члена.
««Числовая последовательность» 9 класс» - Является ли членом последовательности (-3)? Способы задания. Аналитический. Что узнаете нового. Угадайте закономерность. Рекуррентный. Последовательности. Определение числовой последовательности Способы задания Стандартные упражнения. Табличный. формула n- го члена Примеры: 1) аn=2n+3 a1=2·1+3=5 a2=2·2+3=7 a3=2·3+3 2) an=100-10n2.
«Числовые последовательности» - Способы задания. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия. «Числовые последовательности». Числовые последовательности. Урок-конференция.
«Числовая последовательность» - Член последовательности. Обозначение последовательности. 1. Формула n-го члена последовательности: - позволяет найти любой член последовательности. Числовая последовательность (числовой ряд): числа, выписанные в определённом порядке. Порядковый номер члена последовательности. 3. График числовой последовательности.
«Предел числовой последовательности» - Предел функции в точке. – Гармонический ряд. Заданием аналитической формулы. Непрерывность функции в точке. Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 2п-1, … - возрастающая последовательность. Способы задания последовательностей. Предел функции на бесконечности. Предел произведения равен произведению пределов: Свойства пределов.
«Последовательности» - D – разность арифметической прогрессии. Число таких пар равно n. Способы задания числовых последовательностей: Сложив почленно равенства (1) и (2), получим: Число. Нахождение суммы n первых членов арифметической прогрессии: Рассмотрим последовательность: Виды последовательностей: - N-ым членом последовательности.